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Le , par wiwaxia, Membre éclairé
Suite du billet précédent.

# Cela devient amusant lorsque l'on envisage les variations du produit des trois déterminants:
P = QA * QB * QC ,
lesquels présentent une somme constante pour un triangle (ABC) donné: QA + QB + QC = QABC .
On obtient par différentiation:
dP = (QB * QC) * dQA + (QC * QA) * dQB + (QA * QB) * dQC ,
dQA + dQB + dQC = 0 ,
pour parvenir à l'expression de (dP) qui ne dépend plus que de deux variations élémentaires indépendantes:
dP = QB * (QC - QA) * dQA + QA * (QC - QB) * dQB .

Au voisinage d'un éventuel extremum (dP) est identiquement nul, et l'on doit avoir:
(dP = 0) quelles que soient les valeurs de (dQA) et (dQB), ce qui implique:

(1) QB * (QC - QA) = 0 et (2) QA * (QC - QB) = 0 , soit encore en détaillant plus:

[ (1a) QB = 0 ou (1b) QA = QC ] et [ (2a) QA = 0 ou (2b) QB = QC ] .

Les 4 combinaisons possibles conduisent à l'ensemble des solutions:

(1a/2a): QA = QB = 0 _ _ _ _ _ _ Intersection(BC, CA) = Sommet (C)
(1a/2b): QB = QC = 0 _ _ _ _ _ _ Intersection(CA, AB) = Sommet (A)
(1b/2a): QC = QA = 0 _ _ _ _ _ _ Intersection(AB, BC) = Sommet (B)
(1b/2b): QA = QB = QC _ _ _ _ _ Point (K)

Pour la dernière solution, les trois déterminants admettent pour valeur commune: QABC / 3 ;
■ comme ils présentent le même signe, le point (K) se situe à l'intérieur du triangle (ABC);
■ le sommet commun aux triangles (KAB, KBC, KCA) appartient à une parallèle au côté extérieur (AB, BC, CA) située au tiers de la distance qui sépare ce dernier du troisième sommet (C, A, B): il s'agit nécessairement de l'isobarycentre (G) du triangle (ABC).
Conclusion: dans le repère (Oxyz), la surface d'équation z = P(x, y) admet 4 plans tangents parallèles à (xOy): aux sommets (A, B, C) du triangle, ainsi qu'au point se projetant sur celui-ci en (G).

# Exemple simple: soit le triangle équilatéral inscrit dans le cercle de rayon (R = 2), centré à l'origine et admettant pour sommets:
A = (2 , 0) ; B = (-1 , 31/2) ; C = (-1 , -31/2) .
En convenant de poser r = 31/2, le produit des déterminants est alors donné par la fonction:
P(x, y) = (2*r - r*x - 3*y)*(2*r - r*x + 3*y)*(2*r)*(1 + x) = 2*r3*(2 - x - r*y)*(2 - x+r*y)*(1 + x) , soit finalement:
P(x, y) = (6*r)*((2 - x)2 - 3*y)*(1 + x)
Les images ci-dessous représentent la surface d'équation z = a*((2 - x)2 - 3*y)*(1 + x) , dans laquelle (a) désigne un paramètre manuellement ajustable; avec en plus, pour les 2 dernières, le plan équatorial (xOy) d'équation (z = 0):



Noter la parenté entre la 3me image et la partition du plan (xOy) donnée dans le premier billet.

# Courbes de niveau: Le produit P(x, y) admettant pour valeur maximale (QABC/3)3 = QABC3/27 , la coloration en 10 teintes d'un triangle a été programmée par le calcul de la fonction:
F(x, y) = (270 / QABC3) * P(x, y) (qui varie entre 0 et 10)
et extraction d'un indice au format Byte: i = Trunc(F(x, y)) , qui définit une échelle arithmétique de couleur.
Une légère augmentation du premier facteur numérique (passé à 270.1) fait apparaître une tache noire correspondant à la valeur maximale, à l'intersection des trois médianes:



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Avatar de wiwaxia wiwaxia - Membre éclairé https://www.developpez.com
le 09/05/2017 à 13:46
Consulter le billet suivant: La possibilité d'une île.
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